domingo, 16 de marzo de 2014

Aristóteles el lógico frente a Eubulides el vago o la paradoja del montón de arena

Aristóteles disfrutaba tan tranquilo de una apacible tarde de primavera en su casa de campo de la montaña Booleana, rodeada de naturaleza y de lo que ahora llaman algunos aguafiestas "interfaz urbano-forestal". Cuando el sol iluminaba alguna idea brillante del gran filósofo apareció Eubulides de Mileto a fastidiarlo todo con un puñado de arena pasándoselo de mano a mano...
- Querido enemigo Aristóteles, ¿qué tal se vive en tu Montón de Arena?
-¿Mónton de arena? Esto es una Montaña
Eubulides se agachó y cogió un puñado de arena del suelo
-¿Y si me llevo este montoncito seguirás viviendo en una montaña?
-Sí, claro
-¿Y si me llevo dos?
-Sí
-¿Cuantos montones me puedo llevar para que dejes de vivir en una montaña y se convierta en un montón de arena?
Aristóteles lo miró sorprendido
-¿No me digas que a ti también te gusta Hugh Grant?

El inglés que subió una colina y bajó una montaña Fuente
Eubulides sonreía porque le encantaba hacer rabiar a Aristóteles cuando su lógica se tambaleaba ante problemas paradójicos como el del montón de arena o el del mentiroso que dice la verdad. Aristóteles creía en el principio del punto medio que excluía los extremos, esto es, nada puede ser una montaña y un montón de arena al mismo tiempo. Por eso decidió insistir para saber si la lógica de su enemigo era capaz de resolver lo que había denominado La paradoja sorites o del montón de arena.

-Enemigo Aristóteles, veámoslo de otra forma-Ebulides no pudo evitar un tono algo cruel en su razonamiento-¿Un grano de arena es un montón de arena?
-No
-Si un segundo grano de arena se añade al anterior ¿forma ya un montón de arena?
-No
-¿Y si añadimos un tercer grano de arena?
-Claro que no
-El argumento está por tanto fuera de toda duda: Si hay N granos pero no un montón, añadiendo otro grano tendremos N+1 grano que tampoco formarán un montón
-Sí
-Si repetimos este proceso un gran número de veces un grano no convertiría NUNCA el conjunto de granos en un montón de arena y por tanto podríamos tener millones de granos juntos y nunca se convertirían en montón
-Ostias pues es verdad
-Tu lógica nos ha llevado a una conclusión paradójica. No es una falacia puesto que las premisas son claramente verdaderas. Simplemente hemos llegado a una conclusión falsa partiendo de premisas verdaderas.
-Pero has hecho trampas-Aristóteles se relamía antes de soltar su razonamiento incontestable-No hemos definido previamente lo que es un montón de arena o una montaña. En el momento que lo definamos podremos establecer cuándo el conjunto de granos pasa a ser montón o la montaña deja de serlo.
-Pero todo el mundo sabe lo que es un montón de arena ¿no? Hasta un niño de primaria en España te lo definiría, ya no te digo ahora con la nueva Ley Wert que van a ser más excelentes que Sócrates
-Definir, definir, no sé yo, es que es un concepto un poco vago-conforme a Aristóteles se le escapaban esas últimas palabras por su cultivada boca se daba cuenta que había caído en una trampa lógica de la que le sería difícil escapar.
-¡Y no es el pensamiento humano un poco vago! Definamos la diferencia entre montaña y colina (que se lo cuenten a Hugh Grant), definamos el limite entre la ciudad y el bosque, ¿qué es una ciudad? ¿cuándo un pueblo pasa a ser ciudad? ¿qué es un bosque? ¿qué convierte una lluvia en tormenta? ¿tienes calor aquí en tu montaña porque hace calor o porque percibes el calor? ¿tendrían calor nuestros hermanos Espartanos que ni sienten ni padecen?
-Joder Eubulides, me lo pones muy difícil, yo soy más cuadriculado. Si algo no está definido pues lo defino. Por ejemplo, como hizo Hugh Grant, una montaña tiene 1000 pies y punto. Si no tiene mil pies no es una montaña y ya está.
-¿Y no es más sensato inventar una lógica que admita conceptos difusos?
-Uy, uy,uy, que me llevas al huerto
-Seguro que llegará un día en el que alguien me hará caso y desarrolle con números mis ideas-Eubulides se marchaba colina o montaña abajo o montón de arena abajo mostrando un gesto de rabia e impotencia
Aristóteles sentenció con la prepotencia que acostumbraba:
-Mientras tanto la Humanidad seguirá mi lógica, así que ajo y agua...


Cráter lunar Aristóteles vs. Estatua de Eubulides (Fuente)

Epílogo: en 1965 de la era crisitiana, unos cuantos siglos después de la conversación que acabamos de presenciar, el matemático Lofti A. Zadeh dio forma algebraica a la lógica del Eubulides de Mileto denominándose desde entonces lógica difusa o lógica fuzzy. Desde sus aportaciones la lógica difusa está presente en multitud de aplicaciones relacionadas con la toma de decisiones (por ejemplo en aparatos electrónicos, informática, robótica, etc.) en las que no tiene sentido establecer un punto medio, sino que dicha "zona" se convierta en un conjunto de valores difusos que se pueden representar matemáticamente según diferentes funciones. En el campo de la ingeniería forestal se está proponiendo para mejorar la cartografía de gran cantidad de mapas donde no tiene sentido marcar límites, ya que dichos límites no existen en la realidad (por ejemplo límites entre bosques, zonas agrícolas y ciudades, planificación de repoblaciones, mapas de vegetación, etc.).  La vaguedad es parte de nuestras vidas y por tanto también deberían formar parte de nuestra toma de decisiones. Sería nuestro mejor homenaje al olvidado Eubulides de Mileto. Are you fuzzy?

Ejemplo de funciones fuzzy para establecer temperatura "frío-templada-calurosa" Fuente
Ejemplo de límite geográfico booleano (Si/No) frente a límite difuso. Fuente

Mapa clásico usando lógica booleana frente a mapa fuzzy
usando lógica difusa. Fuente

Bibliografía

Fisher P. (2000) Sorites paradox and vague geographies. Fuzzy sets and systems 113: 7-18


Este post participa en la X Edición del Carnaval de Humanidades 
cuyo blog anfitrión es el mundo de las Ideas

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